Espelho plano
Um espelho plano é uma placa de vidro cuja superfície posterior recebeu uma fina película de prata. Quando a luz incide em uma superfície deste tipo, ela é refletida regularmente. Essa regularidade da reflexão é que permite a formação de imagens. Como isso não acontece nos corpos cujas superfícies são rugosas, estes não produzem imagens.
As superfícies rugosas, quando iluminadas nos revelam somente sua própria forma, textura e cor.
Quando vamos dirigir um carro, precisamos ajustar a posição dos espelhos retrovisores para enxergar o que está atrás dele. Qualquer alteração na posição do espelho ou da cabeça do motorista pode impedir esta visualização, porque os feixes de luz que incidem no espelho plano são refletidos em direções determinadas. Ou seja, os feixes de luz emitidos por um carro que está atrás só serão vistos pelo motorista se refletirem no espelho e incidirem sobre seus olhos.
Em um espelho plano comum, vemos nossa imagem com a mesma fora e tamanho, mas parece que encontra-se atrás do espelho, invertida (esquerda na direita e vice-versa), à mesma distancia que nos encontramos dele.
Os raios que partem de um objeto, diante de um espelho plano, refletem-se no espelho e atingem nossos olhos. Assim, recebemos raios luminosos que descreveram uma trajetória angular e temos a impressão de que são provenientes de um objeto atrás do espelho, em linha reta, isto é, mentalmente prolongamos os raios refletidos, em sentido oposto, para trás do espelho.
Espelho Esférico
Para se obter imagens nítidas em espelhos esféricos, Gauss observou que os raios de luz deveriam incidir paralelos ou pouco inclinados em relação ao eixo principal e próximos dele. Assim, para se ter nitidez na imagem, o ângulo de abertura do espelho tem que ser inferior a 10 graus. Se essas condições forem obedecidas, esses espelhos são chamados de espelhos esféricos de Gauss.
Espelhos esféricos são superfícies refletoras que têm a forma de calota esférica. São côncavos se a superfície refletora for a parte interna, ou convexos, se a superfície refletora for a parte externa.
Espelhos côncavos e convexos
Um objeto próximo de um espelho côncavo (curvatura para dentro) produzirá uma imagem na posição correta e ampliada. Um objeto distante produzirá imagem de cabeça para baixo e reduzida. A imagem de um objeto num espelho convexo (curvatura para fora), como nos espelhos retrovisores como dos carros, estará na posição correta, mas será reduzida.
3- Reflexão em espelhos esféricos: Fundamentos Teóricos
Obtenção de espelhos esféricos côncavos e convexos
Você já observou como é um holofote? Ele é constituído de um espelho esférico e a lâmpada está situada em um ponto tal que os raios refletem paralelos ao eixo principal do espelho. Vamos ver como que acontece essa reflexão.
Considere uma esfera de raio R cortada por um plano longitudinal (fig. 3.1a). Dessa forma você obtém uma calota esférica. Quando a superfície interna for a refletora, tem-se um espelho esférico côncavo de raio R (fig. 3.1b), e quando a superfície externa for a refletora, tem-se um espelho esférico convexo de raio R.
Figura 3.1- a) Obtenção da calota esférica
b) Espelho esférico côncavo
c) Espelho esférico convexo
Figura 3.2 - Elementos de um espelho esférico.
a) côncavo
b) convexo
Os elementos de um espelho esférico (fig.3.2) são:
C
centro de curvatura (centro da esfera que originou o espelho)
V vértice do espelho (pólo da calota)
Eixo principal do espelho reta que passa por CV
R raio de curvatura do espelho (raio da esfera que originou o espelho)
F foco do espelho
Para determinarmos a localização do foco do espelho basta considerarmos raios que incidam no espelho provenientes de um objeto situado no infinito. Estes raios são paralelos e, quando refletem (lei da reflexão), passam pelo foco. Observe que o foco para espelho esférico convexo (fig. 3.2b) é obtido na intersecção dos prolongamentos dos raios refletidos com o eixo principal.
Fisicamente o foco seria onde estaria localizada a imagem de um objeto situado no infinito.
Geometricamente podemos verificar que a distância focal (f =FV) é igual à metade do raio de curvatura (R = CV).
f = R / 2 3.1
Observe que a direção do raio de curvatura em qualquer ponto do espelho é a direção da normal (fig. 2.15).
Figura 3.3 Direção do raio de curvatura.
3.2 Construção de imagens em espelhos esféricos
São utilizados três raios básicos para a construção de imagens (fig. 3.4):
1) Raio que incide paralelo ao eixo principal, reflete passando pelo foco.
2) Raio que incide passando pelo foco, reflete paralelo ao eixo principal.
3) Raio que incide passando pelo centro de curvatura, reflete sobre si mesmo.
Figura 3.4 Construção de imagens.
a) espelho esférico côncavo
b) espelho esférico convexo
Na fig. 3.4a, a imagem II' foi obtida na intersecção dos raios refletidos e ela se forma na frente do espelho. Essa imagem é denominada imagem real e ela precisa de um anteparo para ser vista. Na tela do cinema a imagem que você vê é real (a tela está servindo como anteparo). As características da imagem fornecida neste caso pelo espelho côncavo para o objeto situado antes do centro de curvatura são:
Natureza: real
Orientação: invertida
Tamanho: menor que o do objeto
Posição: entre o centro de curvatura (C) e o foco (F)
Dependendo da posição do objeto na frente de um espelho côncavo, a imagem pode apresentar outras características, como veremos a seguir.
Na fig. 3.4b, a imagem II' foi obtida no prolongamento dos raios refletidos e ela se forma atrás do espelho. Esse tipo de imagem, como já vimos em espelhos planos, é uma imagem virtual. O espelho convexo é usado como espelho retrovisor ou como instrumento de observação em entradas de edifício porque aumenta o campo visual.
Independente da posição que o objeto se situa na frente do espelho convexo, as características da imagem fornecida de um objeto real são sempre as mesmas, que são:
Natureza: virtual
Orientação: direita
Tamanho: menor que o do objeto
Posição: entre o foco (F) e o vértice (V)
Vamos construir a imagem fornecida por um espelho côncavo colocando o objeto em outras posições:
Figura 3.5 - Objeto sobre o centro de curvatura.
Natureza: real
Orientação: invertida
Tamanho: igual ao do objeto
Posição: sobre o centro de curvatura
Figura 3.6 - Objeto entre o centro de curvatura (C) e foco (F)
Natureza: real
Orientação: invertida
Tamanho: maior que o objeto
Posição: antes do centro de curvatura
Objeto sobre o foco (F) (fig.3.7)
Figura 3.7- Objeto sobre o foco (F)
Natureza: imprópria
Posição: no infinito
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Figura 3.8 - Objeto entre o foco (F) e o vértice (V) Natureza: virtual
Orientação: direita
Tamanho: maior que o do objeto
Posição: depois do vértice
Observação: Nesta situação o espelho esférico côncavo funciona como espelho de aumento.
3.3 Determinação analítica das características das imagens A equação de Gauss (Carl Friedrich Gauss - fig. 3.9) relaciona a distância objeto (p), a distância imagem (q) e a distância focal (f). É dada pela expressão:
Equação de Gauss
Vamos demonstrar a equação de Gauss:
Figura 3.10 - Construção da imagem fornecida por um espelho esférico côncavo
Da fig 3.10 temos:
OV = p distância objeto
IV = q distância imagem
FV = f distância focal
IF = q - f
OO' tamanho objeto
II'tamanho imagem
Os triângulos O'OV e I'I V (fig.3.10) são semelhantes porque possuem dois ângulos iguais. Como são semelhantes, os seus lados são proporcionais:
II' / OO'= q / p, que é a equação da ampliação:
A = - II' / OO'= - q / p 3.2
Nas condições de nitidez de Gauss, que são válidas para espelhos de pequena abertura (6o), a parte curva DV do espelho se aproxima de uma superfície plana.
OO' = DV
Os triângulos FCI' e FVD são semelhantes porque possuem ângulos opostos pelo vértice iguais e ângulos que são retos. Da semelhança dos triângulos temos que seus lados são proporcionais:
II' / OO' = (q - f) / f
Comparando com a equação da ampliação (3.2), obtemos:
(q - f) / f = q / f
q p - f p = f q
Dividindo os dois membros por (p q f), obtemos:
1/f - 1/q = 1/p
Obtendo finalmente a equação de Gauss:
O referencial de Gauss será o vértice do espelho ou seja as distâncias imagem, objeto e focal serão medidas a partir do vértice. Convenção: As distâncias medidas a favor da luz incidente serão positivas e contra negativas. Esta convenção é válida para espelhos esféricos côncavos e convexos (fig. 3.11).
Figura 3.11 - Convenção:
a) espelhos côncavos
b espelhos convexos
De uma forma geral temos:
- Raios de curvatura e distâncias focais de espelho côncavo são positivos e de espelhos convexos negativos.
- Distâncias de objetos e imagens reais são positivas e de objetos e imagens virtuais negativas.
- Imagem direita é positiva e invertida negativa.
As superfícies rugosas, quando iluminadas nos revelam somente sua própria forma, textura e cor.
Em um espelho plano comum, vemos nossa imagem com a mesma fora e tamanho, mas parece que encontra-se atrás do espelho, invertida (esquerda na direita e vice-versa), à mesma distancia que nos encontramos dele.
Os raios que partem de um objeto, diante de um espelho plano, refletem-se no espelho e atingem nossos olhos. Assim, recebemos raios luminosos que descreveram uma trajetória angular e temos a impressão de que são provenientes de um objeto atrás do espelho, em linha reta, isto é, mentalmente prolongamos os raios refletidos, em sentido oposto, para trás do espelho.
Espelho Esférico
Para se obter imagens nítidas em espelhos esféricos, Gauss observou que os raios de luz deveriam incidir paralelos ou pouco inclinados em relação ao eixo principal e próximos dele. Assim, para se ter nitidez na imagem, o ângulo de abertura do espelho tem que ser inferior a 10 graus. Se essas condições forem obedecidas, esses espelhos são chamados de espelhos esféricos de Gauss.
Espelhos esféricos são superfícies refletoras que têm a forma de calota esférica. São côncavos se a superfície refletora for a parte interna, ou convexos, se a superfície refletora for a parte externa.
Espelhos côncavos e convexos
Um objeto próximo de um espelho côncavo (curvatura para dentro) produzirá uma imagem na posição correta e ampliada. Um objeto distante produzirá imagem de cabeça para baixo e reduzida. A imagem de um objeto num espelho convexo (curvatura para fora), como nos espelhos retrovisores como dos carros, estará na posição correta, mas será reduzida.
3- Reflexão em espelhos esféricos: Fundamentos Teóricos
- 3.2-Construção de imagens em espelhos esféricos 3.3- Determinação analítica das características das imagens
Obtenção de espelhos esféricos côncavos e convexos
Você já observou como é um holofote? Ele é constituído de um espelho esférico e a lâmpada está situada em um ponto tal que os raios refletem paralelos ao eixo principal do espelho. Vamos ver como que acontece essa reflexão.
Considere uma esfera de raio R cortada por um plano longitudinal (fig. 3.1a). Dessa forma você obtém uma calota esférica. Quando a superfície interna for a refletora, tem-se um espelho esférico côncavo de raio R (fig. 3.1b), e quando a superfície externa for a refletora, tem-se um espelho esférico convexo de raio R.
Figura 3.1- a) Obtenção da calota esférica
b) Espelho esférico côncavo
c) Espelho esférico convexo
Figura 3.2 - Elementos de um espelho esférico. a) côncavo
b) convexo
Os elementos de um espelho esférico (fig.3.2) são:
C
centro de curvatura (centro da esfera que originou o espelho) V
vértice do espelho (pólo da calota) Eixo principal do espelho
reta que passa por CV R
raio de curvatura do espelho (raio da esfera que originou o espelho) F
foco do espelho Para determinarmos a localização do foco do espelho basta considerarmos raios que incidam no espelho provenientes de um objeto situado no infinito. Estes raios são paralelos e, quando refletem (lei da reflexão), passam pelo foco. Observe que o foco para espelho esférico convexo (fig. 3.2b) é obtido na intersecção dos prolongamentos dos raios refletidos com o eixo principal.
Fisicamente o foco seria onde estaria localizada a imagem de um objeto situado no infinito.
Geometricamente podemos verificar que a distância focal (f =FV) é igual à metade do raio de curvatura (R = CV).
f = R / 2 3.1
Observe que a direção do raio de curvatura em qualquer ponto do espelho é a direção da normal (fig. 2.15).
Figura 3.3 Direção do raio de curvatura.
3.2 Construção de imagens em espelhos esféricos
São utilizados três raios básicos para a construção de imagens (fig. 3.4):
1) Raio que incide paralelo ao eixo principal, reflete passando pelo foco.
2) Raio que incide passando pelo foco, reflete paralelo ao eixo principal.
3) Raio que incide passando pelo centro de curvatura, reflete sobre si mesmo.
Figura 3.4 Construção de imagens.
a) espelho esférico côncavo
b) espelho esférico convexo
Na fig. 3.4a, a imagem II' foi obtida na intersecção dos raios refletidos e ela se forma na frente do espelho. Essa imagem é denominada imagem real e ela precisa de um anteparo para ser vista. Na tela do cinema a imagem que você vê é real (a tela está servindo como anteparo). As características da imagem fornecida neste caso pelo espelho côncavo para o objeto situado antes do centro de curvatura são:
Natureza: real
Orientação: invertida
Tamanho: menor que o do objeto
Posição: entre o centro de curvatura (C) e o foco (F)
Dependendo da posição do objeto na frente de um espelho côncavo, a imagem pode apresentar outras características, como veremos a seguir.
Na fig. 3.4b, a imagem II' foi obtida no prolongamento dos raios refletidos e ela se forma atrás do espelho. Esse tipo de imagem, como já vimos em espelhos planos, é uma imagem virtual. O espelho convexo é usado como espelho retrovisor ou como instrumento de observação em entradas de edifício porque aumenta o campo visual.
Independente da posição que o objeto se situa na frente do espelho convexo, as características da imagem fornecida de um objeto real são sempre as mesmas, que são:
Natureza: virtual
Orientação: direita
Tamanho: menor que o do objeto
Posição: entre o foco (F) e o vértice (V)
Vamos construir a imagem fornecida por um espelho côncavo colocando o objeto em outras posições:
- Objeto sobre o centro de curvatura (C) (fig. 3.5)
Figura 3.5 - Objeto sobre o centro de curvatura.
Natureza: real
Orientação: invertida
Tamanho: igual ao do objeto
Posição: sobre o centro de curvatura
- Objeto entre o centro de curvatura (C) e o foco (F) (fig. 3.6)
Figura 3.6 - Objeto entre o centro de curvatura (C) e foco (F)
Natureza: real
Orientação: invertida
Tamanho: maior que o objeto
Posição: antes do centro de curvatura
Figura 3.7- Objeto sobre o foco (F)
Natureza: imprópria
Posição: no infinito
- Objeto entre o foco (F) e o vértice (V) (fig.3.8)
Figura 3.8 - Objeto entre o foco (F) e o vértice (V) Natureza: virtual
Orientação: direita
Tamanho: maior que o do objeto
Posição: depois do vértice
Observação: Nesta situação o espelho esférico côncavo funciona como espelho de aumento.
| 1/p + 1/q = 1/f |
 | Carl Friedrich Gauss (fig. 3.9), astrônomo, matemático e físico alemão (1777-1855). Foi reconhecido como um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Em física ocupou-se da ótica, de eletricidade e principalmente de magnetismo, cuja teoria matemática formulou em 1839. |
Figura 3.10 - Construção da imagem fornecida por um espelho esférico côncavo
Da fig 3.10 temos:
OV = p
distância objeto IV = q
distância imagem FV = f
distância focal IF = q - f
OO'
tamanho objeto II'
tamanho imagem Os triângulos O'OV e I'I V (fig.3.10) são semelhantes porque possuem dois ângulos iguais. Como são semelhantes, os seus lados são proporcionais:
II' / OO'= q / p, que é a equação da ampliação:
A = - II' / OO'= - q / p 3.2
Nas condições de nitidez de Gauss, que são válidas para espelhos de pequena abertura (6o), a parte curva DV do espelho se aproxima de uma superfície plana.
OO' = DV
Os triângulos FCI' e FVD são semelhantes porque possuem ângulos opostos pelo vértice iguais e ângulos que são retos. Da semelhança dos triângulos temos que seus lados são proporcionais:
II' / OO' = (q - f) / f
Comparando com a equação da ampliação (3.2), obtemos:
(q - f) / f = q / f
q p - f p = f q
Dividindo os dois membros por (p q f), obtemos:
1/f - 1/q = 1/p
Obtendo finalmente a equação de Gauss:
| 1/p + 1/q = 1/f 3.3 |
Figura 3.11 - Convenção:
a) espelhos côncavos
b espelhos convexos
De uma forma geral temos:
- Raios de curvatura e distâncias focais de espelho côncavo são positivos e de espelhos convexos negativos.
- Distâncias de objetos e imagens reais são positivas e de objetos e imagens virtuais negativas.
- Imagem direita é positiva e invertida negativa.
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